Part C：“王为民方程”的正确求解方式

本章为番外篇。在之前的Part中我们介绍了王为民方程和王为民恒等式的错误之处，由于这个问题涉及到了初等数学以外的过程，而零度君当时并未完整系统的对该方程进行求解，所以零度君觉得有必要将正确求解方案放上来。所以本章在PartB的基础上续了一节。

在正式开始之前我们先做一下复习课：

• 迭代幂次：符号$^kx$表示非负整数k个正数x的幂迭代，比如$^1x=x$，$^3x=x^{x^x}$

• 无限迭代幂次：$^\infty x=\lim_{k \rightarrow \infty}{^kx}$

• 迭代幂次运算是右结合的：这意味着$^4x=x^{x^{(x^x)}} \ne(x^{x)^{x{^x}}}$因此你不能把$^\infty x$展开为$\lim_{k \rightarrow \infty}{x^{x^{k-1}}}$

• 王为民方程：尽管王为民变着花的写了很多形式，但他们都可以等效为$^\infty (\sqrt[x]{x})=x$

6.14 自以为是的巧解

其实，很多萌新都会想到这个点子，但很遗憾这个方法是有严重缺陷的。我们先概述一下这个方法：

1. 根据极限的性质，我们可以将无线迭代幂次做一个简单的代换：$^\infty x=\lim_{k \rightarrow \infty}{^kx}=\lim_{k \rightarrow \infty}{^{k+1}x}$，如果我们令 $y=^\infty x$，那么就会有$y=x^y$

2. 显然我们可以看出$x=\sqrt[y]{y}$

3. 那么对于方程$^\infty (\sqrt[x]{x})=x$可以简单得到$x=({\sqrt[x]{x}})^x$这个恒等式。也就是说方程$^\infty (\sqrt[x]{x})=x$本身就是一个恒等式。

4. 换句话说，x为任意正数时似乎都是$^\infty (\sqrt[x]{x})=x$的根。

6.15 一个被忽略的条件

上面的解法看似简单精炼，但其实存在一个致命问题。这个问题其实我们大家都经历过，就是解方程的时候会出现增根。举个例子：$x^2＋x＋1=0$两边同乘x，得$x^3＋x^2＋x=0$，解得x=0代入原方程，得1=0。

$x^2＋x＋1=0$不能两面同时乘以x然后求解是因为这个你要乘以的x，本身可能在实数域上不存在。你假定他存在了，那么就可能会有增根。同样的道理，在6.14中我们假定了存在$y=^\infty x$而如果y本身在实数域上不存在呢？

所以我们需要讨论函数$f(x)=^\infty x$的定义域和值域。

6.16 迭代幂次的收敛域

首先的一个问题，如果f(x)不收敛，那么显然函数没有意义，此时x是不能取的。因此我们要首先求出了f(x)的收敛域：

1. 假设f(x)收敛于实数a，根据6.14中的讨论，对于不同的x，f(x)收敛到不同的值。那么我们定义一个关于a的函数$g(a)=f(x)-a=^\infty x-a=x^a-a$。显然，f(x)收敛，那么g(a)必然存在=0的时候。

2. 那么，这个问题就转化成最值问题了。假设$a\in(1,+\infty)$,通过一次函数求导$g'(a)=x^a\ln x-1$，得到$g(a)_{min}=\frac{1}{\ln x}-\log_{x}(\frac{1}{\ln x})$，此时$a=\log_{x}(\frac{1}{\ln x})$。如果不习惯x的位置可以用换底公式换出来$a=\frac{-\ln(\ln x)}{\ln x}$。

3. 我们令$g(a)_{min}=\frac{1}{\ln x}-\frac{-\ln(\ln x)}{\ln x}=0$，再用换元法替代 t=lnx。$g(a)_{min}=\frac{1+\ln t}{t}$,很显然当$t\in(-\infty,e^{-1}]$即$x\in(0,e^{1/e}]$时g(a)存在负值。在考虑至少g(1)和g(+∞)一定有一个＞0，可以推出x>1，那么$x\in(1,e^{1/e}]$

4. 同理，当 a∈(0,1) 时，可以推出$x\in[e^{-e},1)$

5. 特殊值x=1时显然成立。所以 $f(x)=^\infty x$的定义域为$x\in[e^{-e},e^{(1/e)}]$

6.17 f(x)的值域

讨论完定义域之后我们就可以计算f(x)的值域了：

1. 我们需要判断其增减性，假定存在$x_1,x_2 \in [1,e^{1/e}]$，且 x1<x2。构造数列$A_n(x)=^nx$。显然$1\leq A_1(x_1)=^1x_1=x_1<A_1(x_2)$

2. 那么假定对于任意正整数 n=k≥1 存在$1\leq A_k(x_1)<A_k(x_2)$

3. 那么当n=k+1时：显然有$A_{k+1}(x_2)={x_2}^{A_k(x_2)}>{x_2}^{A_k(x_1)}>{x_1}^{A_k(x_1)}=A_{k+1}(x_1)$

4. 而$A_{k+1}(x_1)={x_1}^{A_{k}(x_1)}>x_1>1$

5. 所以当n=k+1是满足$1\leq A_{k+1}(x_1)<A_{k+1}(x_2)$即$A_k(x_1)-A_k(x_2)<0$对任意正整数k在$x_1,x_2 \in [1,e^{1/e}]$均成立。取极限可得$^\infty x_1-^\infty x_2\leq 0$,即f(x)在$x\in[1,e^{1/e}]$上是增函数。

6. 同理，f(x)在$x\in[e^{(-e)},1]$上也是增函数。

7. 那么f(x)的值域就应该是$[f(e^{-e}),f(e^{1/e})]$

8. 套用6.14的方法，当 $x=e^{1/e}$时，即$^\infty (e^{1/e})=a$有且仅有 a=e 这一个根。

9. 同理可得$f(e^{-e})=e^{-1}$​

10. 所以f(x)的值域为$f(x)\in[\frac{1}{e},e]$

6.18 王为民方程的正确解法

显然，对于所谓的王为民方程，$^\infty (\sqrt[x]{x})=x$当$x\notin [\frac{1}{e},e]$时是无解的。而对于$x\in [\frac{1}{e},e]$，此时方程是有解的，6.14的方法是正确的。

我们归纳一下：$^\infty (\sqrt[x]{x})=x$仅在$x\in [\frac{1}{e},e]$时成立。而对于正整数而言，所谓的王为民恒等式仅对1和2两个数成立。